Ambrozic ble født den 27. januar 1930 i Gabrje i erkebispedømmet Ljubljana i Slovenia. Familien flyktet til Østerrike i mai 1945 og emigrerte til Canada i 1948. Han ble presteviet den 4. juni 1955 for erkebispedømmet Toronto. Deretter dro han til Roma for videre studier og tok doktorgrader i teologi og bibelstudier. I 1967 dro han til Tyskland for videre studier ved universitetet i Würzburg, hvor han tok enda en doktorgrad i teologi.
Han ble den 26. mars 1976 utnevnt til titularbiskop av Valabria og hjelpebiskop av Toronto av pave Paul VI (1963-78). Han ble den 22. mai 1986 utnevnt til koadjutor-erkebiskop med etterfølgelsesrett av Toronto av den salige pave Johannes Paul II (1978-2005), og han overtok som erkebiskop av Toronto den 17. mars 1990. Han ble den 21. februar 1998 kreert til kardinalprest av SS. Marcellino e Pietro av pave Johannes Paul II. Pave Benedikt XVI innvilget den 16. desember 2006 hans avskjedssøknad, nesten 77 år gammel.
Etter Ambrozics død teller kardinalkollegiet 194 medlemmer, av dem er det de 114 under åtti år som har stemmerett i et fremtidig pavevalg.